Question

8．将函数f（x）=$\sqrt{x}$中的自变量x用x=g（t）替换，替换后所得的函数F（t）=$\sqrt{g（t）}$与原函数f（x）的值域相同，则函数g（t）可以是下列函数中的①③④（请填写所有满足条件的g（t）的编号）．
①g（t）=t${\;}^{\frac{1}{2}}$；②g（t）=2^t；③g（t）=3t-5；④g（t）=（$\frac{1}{2}$）^t-1．

Answer 1

分析 根据题意求出函数f（x）=$\sqrt{x}$值域，依次将g（t）带入函数F（t）=$\sqrt{g（t）}$与原函数f（x）的值域是否相同可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{x}$=${x}^{\frac{1}{2}}$的定义域为{x|x≥0}，
根幂函数的单调性可知，函数f（x）的值域为[0，+∞）．
∵函数F（t）=$\sqrt{g（t）}$，
当①g（t）=t${\;}^{\frac{1}{2}}$时，其值域为[0，+∞）．
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域为[0，+∞）．
与函数f（x）值域相同．
当②g（t）=2^t时，其值域为（0，+∞）．
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域为（0，+∞）．
与函数f（x）值域不相同．
当③g（t）=3t-5时，其值域为（-∞，+∞）．
若g（t）＜0，
故F（t）=$\sqrt{g（t）}$无意义．
若g（t）≥0，
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域为[0，+∞）．
与函数f（x）值域相同．
当④g（t）=（$\frac{1}{2}$）^t-1时，其值域为（-1，+∞）．
若g（t）＜0，
故F（t）=$\sqrt{g（t）}$无意义．
若g（t）≥0，
那么F（t）=$\sqrt{g（t）}$其值域为[0，+∞）．
与函数f（x）值域相同．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了基本函数的值域和复合函数的值域的问题．抓住题意下手．属于基础题．