Question

如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2

2

，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，连接OD、BE，由AD=DE=

2

，知OD⊥AE，由二面角D-AE-B为直二面角，知OD⊥平面ABCE由此能够证明AD⊥平面BDE．
（Ⅱ）取AB中点F，连接OF，由OF∥EB，知OF⊥平面ADE，以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系，则

AD

=(-1，0，1)，

BD

=(1，-2，1)，设

m

=(x，y，z)是平面ABD的一个法向量，由

m

•

AD

=0，

m

•

BD

=0，得

m

=(1，1，1)，平面ADE的法向量

OF

=(0，1，0)，由向量法能求出二面角B-AD-E的平面角．

解答：（Ⅰ）证明：由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，
连接OD、BE，∵AD=DE=

2

，∴OD⊥AE，
又∵二面角D-AE-B为直二面角，
∴OD⊥平面ABCE，
∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2

2

，
∴AB²=AE²+BE²，AE⊥BE，OD∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD，BE∩DE=E，
∴AD⊥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）解：取AB中点F，连接OF，则OF∥EB，
∴OF⊥平面ADE，
以O为原点，OA，OF，OD为x、y、z轴建立直角坐标系（如图），
则A（1，0，0），D（0，0，1），B（-1，2，0），

AD

=(-1，0，1)，

BD

=(1，-2，1)，
设

m

=(x，y，z)是平面ABD的一个法向量，
则

m

•

AD

=0，

m

•

BD

=0，
∴

x-2y+z=0 -x+z=0

，取x=1，则y=1，z=1，
则

m

=(1，1，1)，平面ADE的法向量

OF

=(0，1，0)，
设二面角B-AD-E的平面角为θ，
∴cosθ=|

m • OF

| m | •| OF |

|=|

1

1• 3

|=

3

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明和求二面角的余弦值，解题时要认真审题，注意合理地把空间问题转化为平面问题，合理地运用向量法进行解题．