Question

如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直线与平面所成的角的正弦值.

 

Answer 1

（1）见解析（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行；

（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；

（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．

试题解析：解法一：

（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点 1分

D为AC中点，PD//， 3分

又PD平面D，//平面D 4分

（2）正三棱住， 底面ABC，又BDAC，BD，就是二面角的平面角 6分

=，AD=AC=1，tan =

=, 即二面角的大小是 8分

（3）由（2）作AM，M为垂足 9分

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，AM平面，BDAM

又BD = D，AM平面， 10分

连接MP，则就是直线与平面D所成的角 11分

=，AD=1，在RtD中，=，

，，

直线与平面D所成的角的正弦值为 13分

解法二：

（1）同解法一 4分

（2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（1，，），=（1，0，） 5分

设平面的法向量为n=（x，y，z）

则n

n，则有，得n=（，0，1） 6分

由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量.

设n与所成角为，则， 7分

又，，即二面角的大小是 8分

（3）由已知得=（1，，）, n=（，0，1） 9分

则 12分

直线与平面D所成的角的正弦值为 13分

考点：1.与二面角有关的立体几何综合题；2.直线与平面平行的判定；3.直线与平面所成的角．