Question

20．已知函数f（x）=e^x+ae^-x，若f′（x）≥2$\sqrt{3}$恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （0，3]
• C． [-3，0）
• D． （-∞，-3]

Answer 1

分析 先求导数f′（x），要使f′（x）≥2$\sqrt{3}$恒成立，则将不等式进行转化为含参数恒成立问题．

解答 解：函数的导数f'（x）=e^x-ae^-x，
所以由f′（x）≥2$\sqrt{3}$得e^x-ae^-x≥2$\sqrt{3}$，即a≤-2$\sqrt{3}$e^x+e^2x成立．
设t=e^x，则t＞0，则函数y=（t-$\sqrt{3}$）²-3
因为t＞0，所以当t=$\sqrt{3}$时，y有最小值-3，
所以a≤-3．
即实数a的取值范围是（-∞，-3]．
故选：D．

点评 本题的考点是导数的计算，以及含参数不等式的恒成立问题．最值恒成立问题往往转化为最值恒成立．