Question

8．某同学在独立完成课本上的例题：“求证：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立．
$\sqrt{0}$+$\sqrt{10}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}$+$\sqrt{8.7}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{2}$+$\sqrt{8}$＜2$\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}$+$\sqrt{5.4}$＜2$\sqrt{5}$，
$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$≤2$\sqrt{5}$．
（1）请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式；（用字母表示）
（2）请用合适的方法证明你写出的不等式成立．

Answer 1

分析 （1）由已知不等式，可得$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），x=y时取得等号；
（2）运用分析法证明，通过两边平方和完全平方公式，即可得证．

解答 解：（1）$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），
等号当且仅当x=y时成立．
（2）证明：运用分析法证明．
要证$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），
两边平方即证x+y+2$\sqrt{xy}$≤2（x+y），
即为x+y-2$\sqrt{xy}$≥0，
即有（$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$）²≥0，
上式显然成立，且当且仅当x=y取得等号．

点评 本题考查归纳思想的运用以及不等式的证明，注意运用分析法证明，考查推理和归纳能力，属于中档题．