Question

据宜昌市气象部门统计，宜昌地区每年最低气温在-2⁰C以下的概率为

1

3

（1）设ξ为宜昌地区从2005年到2010年最低气温在-2⁰C以下的年数，求ξ的分布列．
（2）设η为宜昌地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在-2⁰C以下经过的年数，求η的分布列．
（3）求宜昌地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在-2⁰C以下的概率．

Answer 1

分析：（1）将每年的气温情况看做一次试验，且每次实验结果是相互独立的，故ξ～B(6，

1

3

)，所以ξ的分布列为P(ξ=k)=

C

k 6

(

1

3

)k(

2

3

)6-k，k=0，1，2，3，4，5，6，列出表格即可；
（2）由于η表示宜昌地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在-2⁰C以下经过的年数，显然η是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，然后分别求出其概率，列出η的分布列即可；
（3）宜昌地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在-2⁰C以下的事件为（ξ≥1）={ξ=1或ξ=2，…，ξ=6}，利用对立事件的概率进行计算即可．

解答：解：（1）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在-2⁰C以下的概率为

1

3

，且每次实验结果是相互独立的．  
故ξ～B(6，

1

3

)，以此为基础求ξ的分布列，所以ξ的分布列为P(ξ=k)=

C

k 6

(

1

3

)k(

2

3

)6-k，k=0，1，2，3，4，5，6

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	( 2 3 )6	6× 1 3 •( 2 3 )5	15×( 1 3 )2•( 2 3 )4	20×( 1 3 )3•( 2 3 )3	15×( 1 3 )4•( 2 3 )2	6×( 1 3 )5•( 2 3 )1	( 1 3 )6

（2）由于η表示宜昌地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在-2⁰C以下经过的年数，显然η是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5，
其中{η=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k年没有遇到最低气温在-2⁰C以下的情况，但在第k+1年遇到了最低气温在-2⁰C以下的情况，故各概率应按独立事件同时发生计算．P(η=k)=(

2

3

)k

1

3

，(k=0，1，2，3，4，5)
而{η=6}表示这6年没有遇到最低气温在-2⁰C以下的情况，
故其概率为P(η=6)=(

2

3

)6，因此η的分布列为：

η	0	1	2	3	4	5	6
P	1 3	1 3 • 2 3	1 3 •( 2 3 )2	1 3 •( 2 3 )3	1 3 •( 2 3 )4	1 3 •( 2 3 )5	( 2 3 )6

（3）宜昌地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在-2⁰C以下的事件为（ξ≥1）={ξ=1或ξ=2，…，ξ=6}
所以P(ξ≥1)=

6

i=1

P(ξ=k)=1-P(ξ=0)=1-(

2

3

)6=

665

729

≈0.9122

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及相互独立事件的概率计算，同时考查了计算能力，属于中档题．