Question

17．一个大风车的半径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P离地面的距离为h（m），P的初始位置在最低点．风车转动的时间为t（min），当t=8（min）时，h=14（m）； h与t的函数关系为$h（t）=-8cos\frac{π}{6}t+10$．

Answer 1

分析 由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Acos（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，从而得解．

解答 解：由题意，T=12，∴ω=$\frac{π}{6}$，
设h（t）=Acos（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），则 $\left\{\begin{array}{l}{A+B=18}\\{-A+B=2}\end{array}\right.$，
∴A=8，B=10，可得：h（t）=8cos（$\frac{π}{6}$t+φ）+10，
∵P的初始位置在最低点，t=0时，有：h（t）=2，即：8cosφ+10=2，解得：φ=2kπ+π，k∈Z，
∴φ=π，
∴h与t的函数关系为：h（t）=8cos（$\frac{π}{6}$t+π）+10=10-8cos$\frac{π}{6}$t，（t≥0），当t=8时，h（8）=10-8cos（$\frac{π}{6}$×8）=14，
故答案为：14，$h（t）=-8cos\frac{π}{6}t+10$（t≥0）．

点评 本题考查通过实际问题得到三角函数的性质，由性质求三角函数的解析式；考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，注意三角函数的模型的应用，属于中档题．