给出下列命题:①已知a.b是两条不重合的直线.α.β是两个相交的平面.若a.b在平面α内的射影是两条相交直线.a.b在平面β内的射影是两条平行直线.则a.b是两条异面直线,②用一个平面取截一个正方体.截面图象可能是三角形.四边形.五边形.六边形,③已知矩形ABCD顶点都在表面积为64π的球O的球面上.且AB=6.BC=2$\sqrt{3}$.则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．给出下列命题：
①已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个相交的平面，若a，b在平面α内的射影是两条相交直线，a，b在平面β内的射影是两条平行直线，则a，b是两条异面直线；
②用一个平面取截一个正方体，截面图象可能是三角形、四边形、五边形、六边形；
③已知矩形ABCD顶点都在表面积为64π的球O的球面上，且AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，则棱锥O-ABCD的体积为24$\sqrt{3}$；
④与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB，CC₁，A₁D₁所在直线距离都相等的点有且仅有1个，
其中所有正确命题的序号是①②．

分析对①可讨论若a，b是两条平行直线，若a，b是两条相交直线，考虑在平面内的射影，即可判断；
对②，用一个平面取截一个正方体，最少与三个面相交，最多与六个面相交，即可判断；
对③，分别求得球的半径和矩形的面积和所在圆的半径，可得球心到截面的距离，由棱锥体积公式，计算即可判断；
对④，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B₁D，并在B₁D上任取一点P，并设该正方体的棱长为1，连接B₁D，并在B₁D上任取一点P，运用向量的坐标和模，点到直线的距离，即可判断．

解答解：①，若a，b是两条平行直线，则a，b在平面α内的射影不可能是两条相交直线，a，b在平面β内的射影是两条平行直线，不成立；若a，b是两条相交直线，则a，b在平面α内的射影可能是两条相交直线，a，b在平面β内的射影不可能是两条平行直线，不成立；故a，b是两条异面直线，故①正确；
②，用一个平面取截一个正方体，最少与三个面相交，最多与六个面相交，截面图象可能是三角形、四边形、五边形、六边形，故②正确；
③，矩形ABCD的对角线长为$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，矩形的面积为s=12$\sqrt{3}$，矩形所在圆面的半径为r=2$\sqrt{3}$，
由球表面积公式可得，4πR²=64π，解得R=4，球心到截面的距离为d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=2，
则棱锥O-ABCD的体积为$\frac{1}{3}$d•s=$\frac{1}{3}$×2×12$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，故③不正确；
④，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如图所示空间直角坐标系，
并设该正方体的棱长为1，连接B₁D，并在B₁D上任取一点P，
因为$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A₁D，垂足为E，再作EF⊥A₁D₁，垂足为F，
则PF是点P到直线A₁D₁的距离．
所以PF=$\sqrt{{a}^{2}+（1-a）^{2}}$；
同理点P到直线AB、CC₁的距离也是$\sqrt{{a}^{2}+（1-a）^{2}}$．
所以B₁D上任一点与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AB、CC₁、A₁D₁所在直线的距离相等的点有无数个．故④不正确．
故答案为：①②．