Question

二次函数f(x)=ax²+bx(a≠0)满足条件：

①对任意x∈R，均有f(x-4)=f(2-x)；

②函数f(x)的图像与直线y=x相切.

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)当且仅当x∈[4，m](m＞4)时，f(x-t)≤x恒成立，试求t、m的值.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(x-4)=f(2-x),∴b=2a

∵函数f(x)的图像与直线y=x相切,∴方程组有且只有一解；

即ax²+(b-1)x=0有两个相同的实根,∴b=1,a=.

∴函数f(x)的解析式为f(x)=x²+x.  (其他做法相应给分)

(Ⅱ)∵当且仅当x∈[4,m](m＞4)时,f(x-t)≤x恒成立,

∴不等式f(x-t)≤x的解集为[4,m](m＞4).即(x-t)²+(x-t)≤x的解集为[4,m].

∴方程(x-t)²+(x-t)=x的两根为4和m,即方程x²-2tx+t²-2t=0的两根为4和m.

∴(m＞4),解得t=8,m=l2,

∴t和m的值分别为8和12.