Question

6．双曲线与椭圆4x²+y²=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求双曲线方程．

Answer 1

分析 求出椭圆焦点为（0，±4$\sqrt{3}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用双曲线与椭圆4x²+y²=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，即可求双曲线方程．

解答 解：椭圆4x²+y²=64，即$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{64}$=1，
焦点为（0，±4$\sqrt{3}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以双曲线的焦点在y轴上，c=4$\sqrt{3}$，e=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
所以a=6，b=2$\sqrt{3}$，
所以双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．