Question

5．将函数y=ln（x+1）（x≥0）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（θ∈（0，α]），得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 函数y=ln（x+1）在原点的切线OM的斜率k=1，可得∠MOB．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于$\frac{π}{2}$-∠MOB时，旋转所得的图象与垂直于x轴的直线就有两个交点，曲线C都不是一个函数的图象，即可得出．

解答 解：${y}^{′}=\frac{1}{x+1}$，（x＞-1）．
函数y=ln（x+1）在原点的切线OM的斜率k=1，∠MOB=$\frac{π}{4}$．
由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于$\frac{π}{2}$-∠MOB时，旋转所得的图象与垂直于x轴的直线就有两个交点，曲线C都不是一个函数的图象，
故θ的最大值是$\frac{π}{2}$-∠MOB=$\frac{π}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了导数的几何意义、函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．