某知识问答活动中.题库系统有60%的题目属于A类型问题.40%的题目属于B类型问题(假设题库中的题目总数非常大).现需要抽取3道题目作为比赛用题.有两种抽取方法:方法一是直接从题库中随机抽取3道题目.方法二是先在题库中按照分层抽样的方法抽取10道题目作为样本.再从这10个题目中任意抽取3道题目．(1)两种方法抽取的3道题目中.恰好有1道A类型问题和2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．某知识问答活动中，题库系统有60%的题目属于A类型问题，40%的题目属于B类型问题（假设题库中的题目总数非常大），现需要抽取3道题目作为比赛用题，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取3道题目，方法二是先在题库中按照分层抽样的方法抽取10道题目作为样本，再从这10个题目中任意抽取3道题目．
（1）两种方法抽取的3道题目中，恰好有1道A类型问题和2道B型问题的概率是否相同？若相同，说明理由即可，若不同，分别计算出两种抽取方法的概率是多少．
（2）已知抽取的3道题目恰好有1道A类型问题和2道B型问题，现以抢答题的形式由甲乙两人进行比赛，采取三局两胜制，甲擅长A类型问题，乙擅长B类型问题，根据以往的比赛数据表明，若出A类型问题，甲胜过乙的概率为$\frac{3}{4}$，若出B类型问题，乙胜过甲的概率为$\frac{2}{3}$，设甲胜过乙的题目数为X，求X的分布列和数学期望，并指出甲胜过乙的概率．

分析（1）两种抽取方法得到的概率不同．对于方法1，每抽取一道题，抽到A类型问题的概率均为$\frac{3}{5}$，抽到B型问题的概率均为$\frac{2}{5}$，由此能求出抽取三道题目恰好有1道A类型问题和2道B型问题的概率；对于方法2，按照分层抽样抽取的10道题目中有6道A类型问题和4道B类型问题，由此能求出从中再抽取3道题目恰好有1道A类型问题和2道B型问题的概率．
（2）由题意，X可以取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列、数学期望值及甲胜过乙的概率．

解答解：（1）两种抽取方法得到的概率不同．
对于方法1，由于题库中题目总数非常大，
可以认为每抽取一道题，抽到A类型问题的概率均为$\frac{3}{5}$，抽到B型问题的概率均为$\frac{2}{5}$，
所以抽取三道题目恰好有1道A类型问题和2道B型问题的概率为$C_3^1（\frac{3}{5}）{（\frac{2}{5}）^2}=\frac{36}{125}$
对于方法2，按照分层抽样抽取的10道题目中有6道A类型问题和4道B类型问题，
从中再抽取3道题目恰好有1道A类型问题和2道B型问题的概率为$\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{12}{35}$．
（2）由题意，X可以取0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，
$P（X=1）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，
$P（X=2）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{13}{36}$，
$P（X=3）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{3}{36}$，
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{3}{36}$

X的数学期望值$E（X）=0×\frac{1}{9}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{3}{36}=\frac{51}{36}$，
甲胜过乙的概率为$P（X=2）+P（X=3）=\frac{13}{36}+\frac{3}{36}=\frac{4}{9}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

	A．	若ac＞bc，则a＞b
	B．	“当x=2时，x²-3x+2=0”的否命题
	C．	“若b=3，则b²=9”的逆命题
	D．	“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

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