Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x}{a}-{e^x}（{a＞0}）$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；
（3）若存在x₁，x₂（x₁＜x₂），使得f（x₁）=f（x₂）=0，证明：$\frac{x_1}{x_2}$＜ae．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值即可；
（3）求出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${e}^{{{x}_{1}-x}_{2}}$，再求出x₁-x₂的表达式，从而证出结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{a}$-e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜ln$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞ln$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）递增，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
（2）当ln$\frac{1}{a}$≥2即0＜a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$时，f（x）_max=f（2）=$\frac{2}{a}$-e²，
1＜ln$\frac{1}{a}$＜2即$\frac{1}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）_max=f（ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$，
ln$\frac{1}{a}$≤1即a≥$\frac{1}{e}$时，f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{a}$-e；
（3）证明：若函数f（x）有2个零点，
则f（ln$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，
即0＜a＜$\frac{1}{e}$，而此时f（1）=$\frac{1}{a}$-e＞0，
故x₁＜1＜ln$\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞ln$\frac{1}{a}$-1，即x₁-x₂＜1-ln$\frac{1}{a}$，
又f（x₁）=$\frac{{x}_{1}}{a}$-${e}^{{x}_{1}}$=0，f（x₂）=$\frac{{x}_{2}}{e}$-${e}^{{x}_{2}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=${e}^{{{x}_{1}-x}_{2}}$＜${e}^{{（1-ln\frac{1}{a}）}_{max}}$=ae．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，同时考查了零点的判断与应用，属于难题．