Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（$\frac{π}{3}$-ωx），sinωx），$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{π}{3}$+ωx），$\sqrt{3}$cosωx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，若f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{21}{20}$，求sinα；
（Ⅲ）若对于任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，m≤f（x）≤n恒成立，求n-m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将函数利用，结合三角函数的图象和性质即可求ω的值．
（Ⅱ）根据f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{21}{20}$的表达式，解方程求得sinα．
（Ⅲ）根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，从而求出f（x）的最大最小值，恒成立问题转化成最值问题，分别求出m和n的范围，从而求n-m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题知f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=sin（$\frac{π}{3}$-ωx）sin（$\frac{π}{3}$+ωx）+$\sqrt{3}$cosωxsinωx
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx-$\frac{1}{2}$sinωx）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx  ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx                              
=$\frac{3}{4}co{s}^{2}ωx-\frac{1}{4}si{n}^{2}ωx$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=$\frac{3}{4}\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{4}\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=$\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{4}$
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{4}$
∵f（x）的最小正周期为π
∴T=$\frac{2π}{2ω}=π$，∴ω=1；
（Ⅱ）f（α+$\frac{π}{6}$）=sin[2（$α+\frac{π}{6}$）$+\frac{π}{6}$]$+\frac{1}{4}$
=sin（2$α+\frac{π}{2}$）$+\frac{1}{4}$=cos2α$+\frac{1}{4}$=$\frac{21}{20}$
∴cos2α=$\frac{4}{5}$，∴1-2sin²α=$\frac{4}{5}$
∴sin²α=$\frac{1}{10}$∴$sinα=±\frac{\sqrt{10}}{10}$
 （Ⅲ）f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}$
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$
∴0≤2x≤π
∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$
∴$-\frac{1}{4}≤sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}≤\frac{5}{4}$
∴$-\frac{1}{4}≤f（x）≤\frac{5}{4}$
故f（x）的最大值为$\frac{5}{4}$，最小值为$-\frac{1}{4}$
∵m≤f（x）≤n恒成立
∴n≥f（x）恒成立 即n≥f（x）_max即n$≥\frac{5}{4}$
∴m≤f（x）恒成立  即m≤f（x）_min即m≤$-\frac{1}{4}$
则$-m≥\frac{1}{4}$所以n-m≥1

点评 本题考查了点乘公式和二倍角以及化一公式对函数解析式的化简以及考查了函数恒成立问题转化成求最值问题，属于中档题．