题目内容

已知 $数学公式$ ．
（1）当m=1，α=2时
（i）求证：对于给定的x₀∈[0，1），不等式f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）f'（x₀）对于x∈[0，1）恒成立；
（ii）若实数a、b、c∈[0，+∞），且a+b+c=1，求f（a）+f（b）+f（c）的最大值．
（2）当α=1时，若 $数学公式$ 对x∈[1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

（1）（i）证明：当m=1，α=2时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）× $\text{[math]}$
不妨设x＞x₀，∵x₀∈[0，1），∴1-xx₀＜ $\text{[math]}$ ，1+x²＞ $\text{[math]}$
∴f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）× $\text{[math]}$ =（x-x₀）f'（x₀）
（ii）令x₀= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∴f（a）+f（b）+f（c）-3 $\text{[math]}$ ≤（a+b+c-1） $\text{[math]}$ =0
∴f（a）+f（b）+f（c）≤3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴f（a）+f（b）+f（c）的最大值为 $\text{[math]}$ （当且仅当a=b=c= $\text{[math]}$ 时取等号）．
（2）解：由题意m≥0，否则当x→+∞时，f（lnx）＜0，而 $\text{[math]}$ 矛盾
∴ $\text{[math]}$ 对x∈[1，+∞）恒成立，等价于 $\text{[math]}$ 对x∈[1，+∞）恒成立
等价于g（x）=xlnx+（1-x）（mlnx+1）≥0对x∈[1，+∞）恒成立
g′（x）= $\text{[math]}$
若m≥1，则g′（x）≤0，∴g（x）≤g（1）=0矛盾；
若0≤m≤1，则g″（x）= $\text{[math]}$
①若 $\text{[math]}$ ，则0≤m≤ $\text{[math]}$ ，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，
∴g（x）在[1，+∞）上为增函数，g（x）≥g（1）=0；
②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＜m≤1，∴g′（x）在[1， $\text{[math]}$ ）上为减函数，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上为增函数
∴g′（x）_min=g′（ $\text{[math]}$ ）＞g′（1）=0，
∴g（x）在[1， $\text{[math]}$ ）上为减函数，∴g（x）≤g（1）=0；
综上知，实数m的取值范围是[0， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）（i）证明：当m=1，α=2时，f（x）-f（x₀）≤（x-x₀）× $\text{[math]}$ ，由此可得结论；
（ii）令x₀= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，相加，即可求f（a）+f（b）+f（c）的最大值．
（2）先判断m≥0，进而 $\text{[math]}$ 对x∈[1，+∞）恒成立，等价于 $\text{[math]}$ 对x∈[1，+∞）恒成立，等价于g（x）=xlnx+（1-x）（mlnx+1）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可证得．
点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．