Question

1．若f（x）=ax²+x+$\frac{2}{x}$为奇函数，则f（x）在（0，+∞）上的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 f（x）=ax²+x+$\frac{2}{x}$为奇函数，可得f（x）+f（-x）=0，解得a=0．可得f（x）=x+$\frac{2}{x}$，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵f（x）=ax²+x+$\frac{2}{x}$为奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，
∴2ax²=0，x≠0，解得a=0．
∴f（x）=x+$\frac{2}{x}$，
∵f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），${f}^{′}（\sqrt{2}）$=0．
∴x＞$\sqrt{2}$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；$\sqrt{2}＞$x＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴x=$\sqrt{2}$时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．