Question

8．如图，在三棱柱V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：AB∥MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；
（3）求二面角M-OC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出OM∥VB，由此能证明VB∥平面MOC．
（2）推导出OC⊥AB，从而OC⊥平面VAB，由此能证明平面MOC⊥平面VAB．
（3）推导出OC⊥OA，OC⊥OM，从而∠AOM为二面角M-OC-A的平面角，由此能求出二面角M-OC-A的大小．

解答 （本题满分9分）
证明：（1）因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB．
又因为OM?平面MOC，VB?平面MOC，
所以VB∥平面MOC．（3分）
（2）因为AC=BC，O为AB中点，所以OC⊥AB．
因为平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC=AB，OC?平面ABC，
所以OC⊥平面VAB．
因为OC?平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB．（6分）
解：（3）由（2）知OC⊥平面VAB，
所以OC⊥OA，OC⊥OM，
所以∠AOM为二面角M-OC-A的平面角．
因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB
所以∠AOM=∠VBA=60°，
所以二面角M-OC-A的大小为60°．（9分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．