Question

19．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）与⊙O₁：（x-1）²+y²=1和⊙O₂：x²+（y-2）²=4的交点分别为A，B，则|AB|=（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$-1
• D． 1

Answer 1

分析 先求出射线l的直角坐标方程，再分别求出射线l与⊙o₁的交点A的坐标和射线l与⊙o₂的交点B的坐标，最后利用两点间距离公式求出答案．

解答 解：∵射线l：θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0），
∴射线l的直角坐标方程y=$\sqrt{3}$x（x＞0，y＞0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x=0或$\frac{1}{2}$（舍去0）
∴x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴射线l与⊙o₁的交点A为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得x=0或$\sqrt{3}$（舍去0）
∴x=$\sqrt{3}$，y=3．∴射线l与⊙o₂的交点B为（$\sqrt{3}$，3）．
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{3}-\frac{1}{2}）^{2}+（3-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{13-4\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$-1．
故选：C．

点评 本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查两点间距离公式，考查运算能力，属于基础题．