题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）当 $数学公式$ 时，求函数在 $数学公式$ 上的最值；
（3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范围．

解：（1）证明：设x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．（1分）
∵f（x₂）-f（x₁）═ $\text{[math]}$ ，
∴f（x₂）＞f（x₁）．（3分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（5分）
∴ $\text{[math]}$ （7分）
∴f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ；无最大值．（8分）
（3）依题意， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 在[1，2]上恒成立．
∵函数 $\text{[math]}$ 在[1，2]上单调递减，∴g（x）_max=4（11分）
∴ $\text{[math]}$ ，又a＞0．∴ $\text{[math]}$ ，a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）要证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，利用定义证明任意x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₂）＞f（x₁）
（2）结合（1）考查函数的单调性．利用单调性判断函数的值域
（3）由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 在[1，2]上恒成立，构造函数 $\text{[math]}$ ，通过研究函数g（x）在[1，2]上单调性，从而求函数的最大值，而a≥g（x）_max，从而可求a
点评：本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值（或值域），函数的恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用．