Question

5．如图，已知直线l过点A（0，4），交函数y=2^x的图象于点C，A交x轴于点B，若$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，则点B的横坐标为3.16．（结果精确到0.01，参考数据lg2=0.3010，lg3=0.4771，）

Answer 1

分析 过C作CD∥x轴交y轴于D，作CE∥y轴交x轴于E，设B（x，0），利用相似三角形求出C点坐标，代入函数解析式计算即可．

解答 解：过C作CD∥x轴交y轴于D，作CE∥y轴交x轴于E，
∴$\frac{CD}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{5}$，$\frac{CE}{OA}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{2}{5}OB$．CE=$\frac{12}{5}$．
∴设B（x，0），则C（$\frac{2}{5}x$，$\frac{12}{5}$）．
∵C在函数y=2^x的图象上，
∴$\frac{12}{5}$=2${\;}^{\frac{2x}{5}}$，
∴$\frac{2x}{5}$=log₂$\frac{12}{5}$=$\frac{lg12-lg5}{lg2}$=$\frac{lg3+2lg2-（1-lg2）}{lg2}$=$\frac{lg3+3lg2-1}{lg2}$．
∴x=$\frac{5}{2}$•$\frac{lg3+3lg2-1}{lg2}$≈3.16．
故答案为：3.16．

点评 本题考查了对数的运算性质，属于中档题．