Question

6．已知数列{a_n}的首项a₁=4，前n项和为S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）
（1）证明数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，求f′（1）．

Answer 1

分析 （1）根据S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺），求得S_n-3S_n-1-2（n-1）-4=0两式相减求得a_n+1-3a_n+2=0，判断出{a_n+1}是一个等比数列．进而根据首项和公比求得数列的通项公式；
（2）令b_n=f′（1），得b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁．利用错位相减法得出{b_n}的通项公式．从而得到f′（1）．

解答 证明：（1）∵S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）  ①
∴S_n-3S_n-1-2（n-1）-4=0（n∈N⁺）  ②
①-②得a_n+1-3a_n+2=0，
即a_n+1+1=3（a_n+1）
∴{a_n+1}是首项为5，公比为3的等比数列．
∴a_n+1=5•3^n-1，
即a_n═5•3^n-1-1．
（2）∵f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，
∴f′（x）=a_n+2a_n-1x+…+na₁x^n-1
设b_n=f′（1），∴b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁③
∴3b_n=3a_n+3•2a_n-1+…+3•na₁
=a_n+1+2a_n+…+na₂④
④-③，得
2b_n=a_n+1+a_n+…+a₂-na_1
=S_n+1-（n+1）a₁
=$\frac{{a}_{1}（1-{3}^{n+1}）}{1-3}$-（n+1）a₁
=2（3ⁿ⁺¹-1）-4（n+1）
=2•3ⁿ⁺¹-4n-6
∴${b}_{n}={3}^{n+1}-2n-3$．

点评 本题考查等比数列的证明，考查导数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．