Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，首项a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用裂项求和即可得出．

解答：解：（1）设数列{a_n}公差的 公差为d≠0，
∵a₂，a₅，a₁₄成等比数列．a₁=1
∴

a

2 5

=a2•a14，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键．