Question

7．已知函数y=1+2sinxcosx．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]时，求最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先通过二倍角公式对函数解析式进行化简，得y=sin2x+1，根据正弦函数的周期性可得函数的最小正周期．
（2）根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．

解答 解：（1）y=1+2sinxcosx=sin2x+1，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵y=sin2x+1，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z，
∴函数y在[-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z单调递增，
∴函数y在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]上单递减，在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增，
∴当x=-$\frac{π}{4}$时有最小值，即为y=0，
当x=-$\frac{π}{2}$时，y=1，x=$\frac{π}{6}$时，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
∴最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，最小值为0．

点评 本题主要考查了正弦函数的性质．三角函数的单调性、周期性质是近几年高考的重点，平时应加强这方面的训练．