Question

19．已知数列{a_n}当n≥2时满足$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，且a₃a₅a₇=$\frac{1}{24}$，$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$=9，S_n是数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和，则S₄=7．

Answer 1

分析 数列{a_n}当n≥2时满足$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，可得数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，设公差为d．由$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$=9，可得$\frac{3}{{a}_{5}}$=9，解得$\frac{1}{{a}_{5}}$=3．由a₃a₅a₇=$\frac{1}{24}$，可得$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}{a}_{7}}$=24，因此（3-2d）×3×（3+2d）=24，解出d，进而得出．

解答 解：∵数列{a_n}当n≥2时满足$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，设公差为d．
∵$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{7}}$=9，
∴$\frac{3}{{a}_{5}}$=9，解得$\frac{1}{{a}_{5}}$=3．
∵a₃a₅a₇=$\frac{1}{24}$，∴$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{5}{a}_{7}}$=24，
∴（3-2d）×3×（3+2d）=24，
解得d=$±\frac{1}{2}$．
d=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{5}}$+（n-5）d=3+$\frac{1}{2}（n-5）$=$\frac{n+1}{2}$．
∴S₄=$\frac{2+3+4+5}{2}$=7．
d=-$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{5}}$+（n-5）d=3-$\frac{1}{2}（n-5）$=$\frac{11-n}{2}$．（舍去，n=11时不存在）．
综上可得：S₄=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．