Question

14．设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2$\sqrt{3}$，则直线l的斜率等于$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、Q（x₀，y₀）．解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率．

解答 解：设直线l的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、Q（x₀，y₀）．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化简得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{4}{k}$，
∴x₀=$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2}{k}$，
由$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，得：（$\frac{2-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$）²+（$\frac{2}{k}$）²=12．
∴k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用．