Question

过点P（2，1）的直线与抛物线y²=8x交于A、B两点，且，则此直线的方程为

1. A.
   x-4y+2=0
2. B.
   4x-y-7=0
3. C.
   x-8y+6=0
4. D.
   8x-y-15=0

Answer 1

B
分析：设出直线的斜率，根据P的坐标写出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，由得到P为线段AB的中点，根据韦达定理及线段的中点坐标公式可得两个根相加等于P横坐标的2倍，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线方程即可．
解答：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k，
联立直线与抛物线方程得：，消去y得：k²x²+（2k-4k²+8）x+（1-2k）²=0，
设直线与抛物线的两交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得到P为线段AB的中点，
则x₁+x₂=-=4，即k=4．
所以此直线的方程为：y=4x-7，即4x-y-7=0
故选B．
点评：此题考查学生掌握向量相加等于0向量的意义，灵活运用韦达定理及线段的中点坐标化简求值，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道综合题．