Question

设角A，B，C为△ABC的三个内角．
（Ⅰ）若sin²+sin=，求角A的大小；
（Ⅱ）设f（A）=sinA+2sin，求当A为何值时，f（A）取极大值，并求其极大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据sin²+sin=整理得cos（cos-1）=0进而求得cos，进而求得A．
（Ⅱ）对函数f（A）进行求导，根据结果与0的关系判断函数的单调性，进而判断出函数的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，sin²+sin=，
即sin²+cos=，
所以（1-）+cos=，
即cos（cos-1）=0．
在△ABC中，因为0＜A＜π，则0＜＜，
所以cos≠0，从而cos=．
从而=，即A=．
（Ⅱ）因为f′（A）=cosA+cos=2cos2+cos=（2cos-1）（cos+1），
因为0＜A＜π，则cos+1＞0．
由f′（A）＞0，得cos＞，
所以0＜＜，即0＜A＜．
所以当A∈（0，）时，f（A）为增函数；
当A∈（，π）时，f（A）为减函数．
故当A=时，f（A）取极大值，
且极大值为f（）=．
点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，导数，函数的单调性．