Question

2．已知函数f（x）=log₂（a^x-b^x+2），且f（1）=2，f（2）=1+log₂7．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[-2，2]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用对数的运算性质，可得a-b=2，a²-b²=12，解得a，b的值；
（2）求得f（x）=log₂（4^x-2^x+2），令t=4^x-2^x+2，运用指数函数的单调性和配方法，结合二次函数的最值求法，可得t的最小值，由对数函数的单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=log₂（a^x-b^x+2），
且f（1）=2，f（2）=1+log₂7，
可得log₂（a-b+2）=2，log₂（a²-b²+2）=1+log₂7=log₂14，
即有a-b=2，a²-b²=12，可得a+b=6，
解得a=4，b=2；
（2）由（1）可得f（x）=log₂（4^x-2^x+2），
令t=4^x-2^x+2=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
由x∈[-2，2]，可得2^x∈[$\frac{1}{4}$，4]，
即有2^x=$\frac{1}{2}$，即x=-1时，t取得最小值$\frac{7}{4}$，
则函数f（x）取得最小值log₂$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考查函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数和对数函数的单调性，同时考查对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．