Question

20．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c=2，b=3且BC边上的中线AD=2．求：cosA及边BC的长．

Answer 1

分析 利用∠ADB+∠ADC=π，结合余弦定理先求出BC长，再次利用余弦定理即可求得cosA的值．

解答 解：在△ABC中，∵∠ADB+∠ADC=π，
∴cos∠ADB=-cos∠ADC，
∴由余弦定理可得：$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-B{A}^{2}}{2•AD•BD}$=-$\frac{A{D}^{2}+C{D}^{2}-A{C}^{2}}{2•AD•CD}$，
∵c=2，b=3且BC边上的中线AD=2．
∴解得：BD=CD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，可得：BC=$\sqrt{10}$，
∴cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{4+9-10}{2×2×3}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．