Question

10．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1，
（1）当a＜$\frac{1}{2}$时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+$\frac{4}{3}$，当a=$\frac{1}{3}$时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求导得$f'（x）=\frac{（1-x）（ax+a-1）}{x^2}$，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；
（2）将条件对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）≥g（x₂）转化为g（x₂）≤f（x）_min在x₂∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b$≥{x}_{2}+\frac{2}{{x}_{2}}$在x₂∈[1，3]有解，利用基本不等式可知${x}_{2}+\frac{2}{{x}_{2}}≥2\sqrt{2}$，故b$≥\sqrt{2}$．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{（1-x）（ax+a-1）}{x^2}$，
当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；
当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0得$1＜x＜\frac{1-a}{a}$，∴f（x）的递增区间为$（1，\frac{1-a}{a}）$f'（x）＜0得0＜x＜1或$x＞\frac{1-a}{a}$，∴f（x）的递减区间为（0，1）和$（\frac{1-a}{a}，+∞）$．
（2）当$a=\frac{1}{3}$时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴$f{（x）_{min}}=f（1）=-\frac{2}{3}$，
依题意有$g（{x_2}）≤f{（x）_{min}}=-\frac{2}{3}$在x₂∈[1，3]有解$?2b≥{x_2}+\frac{2}{x_2}$在x₂∈[1，3]有解，
又${x_2}+\frac{2}{x_2}≥2\sqrt{2}$当且仅当${x_2}=\sqrt{2}$时等号成立，
∴$b≥\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是利用导数性质将条件进行合理转化．