Question

已知实数x，y满足约束条件

x+y≤1 y-x≤1 y≥0

，若目标函数z=（a-1）x+ay在点（-1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
若a=0，则目标函数为z=-x，
即x=-z，
此时满足目标函数z=（a-1）x+ay在点（-1，0）处取得最大值，
若a≠0，则由z=（a-1）x+ay得，
y=

1-a

a

x+

z

a

，
若a＜0，此时目标函数的斜率k=

1-a

a

＜0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点A（-1，0）时，直线截距最小，z最大，
若a＞0，
要使目标函数z=（a-1）x+ay在点（-1，0）处取得最大值，
则满足目标函数的斜率k=

1-a

a

≥1，即a≤

1

2

，此时满足0≤a≤

1

2

，
综上a≤

1

2

，故实数a的取值范围是（-∞，

1

2

]
故答案为：（-∞，

1

2

]

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据目标函数z=（a-1）x+ay在点（-1，0）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．