Question

15．已知{a_n}是递增的等差数列，a₁，a₂是方程x²-4x+3=0的两根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁＜a₂，a₁，a₂是方程x²-4x+3=0的两根，求出a₁=1，a₂=3，由此利用等差数列的性质能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵{a_n}是递增的等差数列，∴a₁＜a₂，…（1分）
又a₁，a₂是方程x²-4x+3=0的两根，∴解方程，得a₁=1，a₂=3，…（3分）
∴d=a₂-a₁=3-1=2，…（4分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（6分）
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（9分）
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．