题目内容

斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC的射影O是DABC的中心，AA1与AB的夹角是45°．

    （1）求证AA1^平面A1BC；

    （2）求此棱柱的侧面积．

答案：
解析：

如图解：（1）∵ A1在底面ABC上的射影O为正DABC的中心，∴ A1A=A1B=A1C．

    又∵ A1AB=45°，∴ ÐA1BA==ÐA1CA==ÐA1AC==45°，∴ ÐAA1B==ÐAA1C==90°，即AA1^A1B，AA1^A1C，又A1B∩A1C==A1，∴ AA1^平面A1BC．

    （2）连AO并延长交BC于D，由条件知：AD^BC，AO为AA1在底面ABC的射影，∴ AA1^BC．

    ∵ BB1∥AA1，∴ BB1^BC，∴ BCC1B1是矩形，在RtAA1B中，AA1==A1B==，BC==2，∴ ，，

    ∴ S侧==2．


练习册系列答案
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如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且BA1⊥AC1．
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（2010•抚州模拟）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A1在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA1与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
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（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角B-A1E-C余弦值的大小．

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