Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长度分别是a，b，c且b=3，c=1，∠A=2∠B，
（1）求a的值；
（2）求∠A+45°的正弦值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）对A=2B取正弦，由二倍角的正弦公式，结合正弦定理和余弦定理，化简即可得到a²=bc+b²，代入b，c，即可得到a；
（2）运用余弦定理，求得cosA，进而得到sinA，再由两角和的正弦公式计算即可得到．

解答： 解：（1）由于A=2B，则sinA=sin2B=2sinBcosB，
由正弦定理和余弦定理可得，
a=2b•

a2+c2-b2

2ac

，
即有a²（c-b）=b（c-b）（c+b），
即为a²=bc+b²=3+9=12，
则a=2

3

；
（2）由余弦定理可得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

9+1-12

2×3×1

=-

1

3

，
则sinA=

1- 1 9

=

2 2

3

．
则有sin（A+45°）=

2

2

（sinA+cosA）
=

2

2

×（

2 2

3

-

1

3

）=

4- 2

6

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．