Question

12．已知函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-2，0）
• C． （-1，0）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 求出函数的定义域，求出原函数的导函数，对a分类求出函数的单调区间，求得极值，结合函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有两个零点列式求得a的范围．

解答 解：函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$．
①当a=0时，f（x）=x²-2x，在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意；
②当a＜0，即$\frac{a}{2}$＜0时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
∴f（x）的极小值也就是f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=1-a-2=-a-1，
∵当x→0时，f（x）→+∞，
∴要使函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有两个零点，则-a-1＜0，即a＞-1，
∴-1＜a＜0；
③当0＜$\frac{a}{2}$＜1，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜$\frac{a}{2}$或x＞1，
函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得$\frac{a}{2}$＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（$\frac{a}{2}$，1）．
f（x）的极大值为f（$\frac{a}{2}$）=$aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}-a=aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-a$＜0，极小值为f（1）=1-a-2=-a-1＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意；
④当$\frac{a}{2}$=1，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），不可能有两个零点，不合题意；
⑤当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜1或x＞$\frac{a}{2}$，
函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞）．
令f'（x）＜0，得1＜x＜$\frac{a}{2}$，函数f（x）的单调递减区间为（1，$\frac{a}{2}$）．
f（x）的极大值为f（1）=1-a-2=-a-1＜0，极小值f（$\frac{a}{2}$）=$aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}-a=aln\frac{a}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-a$＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，不合题意．
综上，函数f（x）=alnx+x²-（a+2）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（-1，0）．
故选：C．

点评 本题考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．