Question

19．已知tanα=2．
（1）求$\frac{3sinα-cosα}{sinα+2cosα}$的值；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），求sin（α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得cosα 和sinα的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）由tanα=2 知，cosα≠0，∴$\frac{3sinα-cosα}{sinα+2cosα}$=$\frac{3tanα}{tanα+2}$=$\frac{5}{4}$．
（2）由tanα=2=$\frac{sinα}{cosα}$，得sinα=2cosα，再根据sin²α+cos²α=1，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
求得cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$-cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．