Question

函数f（x）=

3

2

sin（π-x）+

3

2

cos（π+x），方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有两个不等的实根，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：运用诱导公式和两角差的正弦公式化简三角函数式，方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有两个不等的实根，则sin（x-

π

6

）=

3

3

k在x∈[0，π]上有两个不等的实根．即为y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k在x∈[0，π]上有两个交点．画出它们的图象，观察计算即可得到．

解答： 解：函数f（x）=

3

2

sin（π-x）+

3

2

cos（π+x）
=

3

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=

3

sin（x-

π

6

），
方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有两个不等的实根，
则sin（x-

π

6

）=

3

3

k在x∈[0，π]上有两个不等的实根．
即为y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k在x∈[0，π]上有两个交点．
作出函数y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k．
则由图象y=sin（x-

π

6

）的最大值为1，当x=π时，y=sin（x-

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

，
则当

1

2

≤

3

3

k＜1，即有

3

2

≤k＜

3

时，图象有两个交点，
则方程f（x）-k=0在，x∈[0，π]上有两个不等的实根．
故答案为：[

3

2

，

3

）．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查函数方程的转化思想，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．