Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x+x-3（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）的两个零点分别为x₁，x₂，则|x₁-x₂|=（　　）

• A． 3-ln2
• B． 3ln2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 换底公式得到$lo{g}_{4}x=-lo{g}_{\frac{1}{4}}x$，然后令f（x）=0，从而得出$x-3=lo{g}_{\frac{1}{4}}x，x＞0$，$x+3=（\frac{1}{4}）^{x}，x≤0$，然后画出直线y=x-3，y=x，y=x+3以及函数$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}x$和$y=（\frac{1}{4}）^{x}$的图象，由图象可看出|x₁-x₂|为A，B两点距离的一半，从而求出|x₁-x₂|的值．

解答 解：$lo{g}_{4}x=-lo{g}_{\frac{1}{4}}x$；

∴令f（x）=0得：
$x-3=lo{g}_{\frac{1}{4}}x，x+3=（\frac{1}{4}）^{x}$；
∴直线y=x-3和曲线$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}x$的交点C横坐标为x₁，直线y=x+3和曲线$y=（\frac{1}{4}）^{x}$的交点D横坐标为x₂；
如图，两曲线关于y=x对称，直线y=x-3和y=x+3关于y=x对称；
∴CD⊥AD，CD⊥CB；
∴$|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{|AB|}{2}=3$．
故选：D．

点评 考查函数零点的概念，函数的零点和直线与曲线交点的关系，互为反函数的两图象的对称性，以及数形结合解题的方法．