Question

16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其图象相邻的两条对称轴方程为x=0与x=$\frac{π}{2}$，则（　　）

• A． f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数
• B． f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数
• C． f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为单调递增函数
• D． f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为单调递减函数

Answer 1

分析 化简f（x），由两条相邻对称轴，得到周期与ω，且由对称轴得到φ，由此得到区间上的单调性．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）
=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ-$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜2π），
∵图象相邻的两条对称轴方程为x=0与x=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，∴ω=2，
∵对称轴方程为x=0，
∴f（0）=$\sqrt{2}$或f（0）=-$\sqrt{2}$，
sin（φ-$\frac{π}{4}$）=1或-1，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$），
∴f（x）的最小正周期为π，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，2x-$\frac{π}{2}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
且在（0，$\frac{π}{2}$）上为单调递增．
故选：C

点评 本题考查三角函数的化简，以及由对称轴，得到周期与ω以及φ，由此得到区间上的单调性．