Question

3．某公司一年经销某种商品，年销售量400吨，每吨进价5万元，每吨销售价8万元．全年进货若干次，每次都购买x吨，运费为每次2万元，一年的总存储费用为2x万元．
（1）求该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系；
（2）要使一年的总利润最大，则每次购买量为多少？并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）先设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物400吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，即可求出该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系；
（2）利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可．

解答 解：（1）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买$\frac{400}{x}$次，运费为2万元/次，一年的总存储费用为2x万元，一年的总运费与总存储费用之和为$\frac{400}{x}$•2+2x万元．
∴该公司经销这种商品一年的总利润y与x的函数关系y=1200-（$\frac{400}{x}$•2+2x）；
（2）要使一年的总利润最大，只要一年的总运费与总存储费用之和最小．
∵$\frac{400}{x}$•2+2x≥80，当$\frac{400}{x}$•2=2x即x=20吨时，等号成立．
∴每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小，最大利润1120万元．

点评 本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于中档题．解决实际问题的关键是选择好分式函数模型．