Question

14．已知点P（0，-1）是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点，C₁的长轴是圆C₂：x²+y²=4的直径．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）如图1，过椭圆C₁的右焦点F作直线l₁交该椭圆右支于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于P，求$\frac{|PF|}{|AB|}$的值．
（3）如图2，若圆C₂：x²+y²=4与y轴正半轴交于点Q，过点Q的直线l₂交椭圆C₁于M、N两点，求△OMQ与△ONQ面积之比的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接由已知得到a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求出A、B中点的坐标，得到l₁的垂直平分线的方程，求得P的坐标，进一步求出|PF|、|AB|得答案；
（3）联立直线方程和椭圆方程，把△OMQ与△ONQ面积之比转化为M、N的横坐标的比值得答案．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴椭圆C₁的方程为$\frac{x2}{4}$+y²=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点D（x₀，y₀）．设直线l₁的方程为x=my+$\sqrt{3}$．（$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去x整理得$（{m}^{2}+4）{y}^{2}+2\sqrt{3}y-1=0$，
则${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=-\frac{\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$，${x}_{0}=m{y}_{0}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}$．
∴l₁的垂直平分线的方程为：y-y₀=-m（x-x₀），即$y+\frac{\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}=-m（x-\frac{4\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}）$，
令y=0，得$x=\frac{3\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}$．即P（$\frac{3\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}，0$）．
∴|PF|=$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}=\frac{\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
又|AB|=|AF|+|BF|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
∴$\frac{|PF|}{|AB|}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）设直线l₂的方程为y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$消去y，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．
则△=256k²-48（4k²+1）＞0，得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$\frac{{S}_{△OMQ}}{{S}_{△ONQ}}=\frac{|MQ|}{|NQ|}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，由题意，0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1．
又${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{4{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{4{k}^{2}+1}$，
则$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+2$=$\frac{\frac{256{k}^{2}}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}{\frac{12}{4{k}^{2}+1}}=\frac{64{k}^{2}}{12{k}^{2}+3}$，
∵${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，∴$\frac{64{k}^{2}}{12{k}^{2}+3}$∈（4，$\frac{16}{3}$），∴2＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{10}{3}$．
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（$\frac{5-\sqrt{22}}{3}，1$），
即$\frac{{S}_{△OMQ}}{{S}_{△ONQ}}$∈（$\frac{5-\sqrt{22}}{3}，1$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了运算能力，是压轴题．