Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）与双曲线$\frac{x^2}{3}$-y²=1的离心率互为倒数，且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线的标准方程，求得双曲线的离心率即可求得椭圆的离心率，由直线方程求得顶点坐标，代入即可求得a、b和c的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，根据韦达定理，求得x₁+x₂，x₁+x₂及y₁•y₂，OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²，即可求得k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点，
∴顶点为（2，0），即a=2…（2分）
∴$c=\sqrt{3}，b=1$，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y并整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0…（5分）
则${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-1}）}}{{1+4{k^2}}}$，
于是${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$…（6分）
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}$
∴$-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，由m≠0，得${k^2}=\frac{1}{4}$，
∴$k=±\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查椭圆及双曲线的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查等比数列的性质，考查计算能力，属于中档题．