Question

6．已知函数f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-kx²（k∈R）有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． k＜0
• B． k＜1
• C． 0＜k＜1
• D． k＞1

Answer 1

分析 分别画出y=$\frac{|x|}{x+2}$与y=kx²的图象如图，再分类讨论，根据方程根的个数即可求出．

解答 解：分别画出y=$\frac{|x|}{x+2}$与y=kx²的图象如图所示，
当k＜0时，y=kx²的开口向下，此时与y=$\frac{|x|}{x+2}$只有一个交点，显然不符合题意，
当k=0时，此时与y=$\frac{|x|}{x+2}$只有一个交点，显然不符合题意，
当k＞0时，x≥0时，
f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-kx²=0，
即kx³+2k²-x=0，
即x（kx²+2kx-1）=0，即x=0，或kx²+2kx-1=0，
此时有唯一的解，即△=4k²+4k=0，解得k=-1（舍去），
当k＞0时，x＜0时，
f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$-kx²=0，
即kx³+2k²+x=0，
kx²+2kx+1=0，
此时有两个解，即△=4k²-4k＞0，解得k＞1，
综上所述k＞1
故选：D．

点评 本题考查了函数零点的问题，关键时分类讨论，属于中档题．