题目内容
18．椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的右焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点A，B，若△FAB的周长等于8则△FAB的面积为（ ）| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
分析 F$（\sqrt{3}，0）$．设直线x=t与x轴相交于点D（t，0），由于△FAB的周长等于8，可得|AB|+|AF|+|BF|=8=4×a，因此直线x=t经过左焦点（-$\sqrt{3}$，0）．解出即可得出．
解答 解：F$（\sqrt{3}，0）$．
设直线x=t与x轴相交于点D（t，0），
∵△FAB的周长等于8，∴|AB|+|AF|+|BF|=8=4×2，
因此直线x=t经过左焦点（-$\sqrt{3}$，0）．
把x=-$\sqrt{3}$代入椭圆方程可得：y2=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，解得y=$±\frac{1}{2}$．
∴|AB|=1．
∴△FAB的面积=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$，
故选：C．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN．
13．已知F是椭圆C：$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}$=1的右焦点，P是C上一点，A（-2，1），当△APF周长最小时，其面积为（ ）
| A． | 4 | B． | 8 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $2\sqrt{2}$ |
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若b=2acosC，则△ABC的形状一定是（ ）
| A． | 等腰直角三角形 | B． | 直角三角形 | ||
| C． | 等腰三角形 | D． | 等腰或直角三角形 |