Question

10．如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为$\sqrt{3}$的内接圆柱；
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）利用S_表面积=2S_底+S_侧，求圆柱的表面积；
（2）求出三棱锥、圆柱的体积，即可求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．

解答 解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h′．
（1）圆锥的高h=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
又∵h′=$\sqrt{3}$，
∴h′=$\frac{1}{2}$h．∴$\frac{r}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，∴r=1．
∴S_表面积=2S_底+S_侧=2πr²+2πrh′
=2π+2π×$\sqrt{3}$=2（1+$\sqrt{3}$）π．…（6分）
（2）所求体积$V={V_{三棱锥}}-{V_{圆柱}}=\frac{1}{3}π{R^2}•h-π{r^2}•h'=\frac{1}{3}π•{2^2}×2\sqrt{3}-π•{1^2}×\sqrt{3}$=$\frac{5}{3}\sqrt{3}π$…（12分）

点评 本题考查圆柱的表面积、三棱锥、圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．