Question

12．已知函数f（x）=$\frac{x}{a}$-lnx（a≠0，a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在两个不相等的正数x₁，x₂，满足f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）得到a＞0符合题意，不妨设x₁＜x₂，问题转化为证f（x₂）＞f（2a-x₁）即可，根据函数的单调性证明即可．

解答 （1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{x-a}{ax}$，
当a＞0时，x≥a，f′（x）≥0，0＜x＜a，f′（x）＜0，
当a＜0时，x＞0，f′（x）＜0，
故a＞0时：f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减；
（2）证明：由（1）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，不合题意；
a＞0时：f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
若存在两个不相等的正数x₁，x₂，满足f（x₁）=f（x₂），
不妨设x₁＜x₂，则有x₁∈（0，a），x₂∈（a，+∞），
要证x₁+x₂＞2a，即证x₂＞2a-x₁，而x₂＞a，2a-x₁＞a，
故只需证f（x₂）＞f（2a-x₁）即可，
函数F（x）=f（x）-f（2a-x）的定义域是（0，2a），
F（x）=f（x）-f（2a-x）=$\frac{x}{a}$-lnx-$\frac{2a-x}{a}$+ln（2a-x），
F′（x）=$\frac{-{2（x-a）}^{2}}{ax（2a-x）}$≤0，当且仅当x=a“=”成立，
F（x）在（0，2a）递减，而F（a）=0，
∴x∈（0，a）时，F（x）=f（x）-f（2a-x）＞0，
x∈（a，2a）时，F（x）=f（x）-f（2a-x）＜0，
故x₁∈（0，a），有f（x₁）-f（2a-x₁）＞0，
从而x₁+x₂＞2a．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．