Question

9．已知函数f（x+1）为奇函数，函数f（x-1）为偶函数，且f（0）=2，则f（2016）=2．

Answer 1

分析 先根据函数f（x+1）为奇函数得到f（x+1）=-f（-x+1）；再结合函数f（x-1）是偶函数得到f（x-1）=f（-x-1），联立可求函数的周期，从而得出f（2016）=f（0）．

解答 解：∵函数f（x+1）为奇函数，
∴f（x+1）=-f（-x+1），
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t），
∵函数f（x-1）是偶函数，
∴f（x-1）=f（-x-1），
令x-1=t，得f（t）=f（-t-2），
∴f（-t-2）=-f（-t+2），
令-t-2=m，则f（m）=-f（m+4），
∴f（m+8）=f（m）
即函数以8为周期的周期函数．
∴f（2016）=f（0）=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，解决问题的关键在于解出函数的周期．