Question

8．设函数p（x）=log₃x，q（x）=2^x．
（1）若f（q（x））=p（q（5x）），求f（x）的解析式及f（5^-2013）+f（5^-2012）+f（5^-2011）+…+f（5²⁰¹²）+f（5²⁰¹³）值；
（2）若g（x）=p（q（2x）+1）+kx（k∈R）是偶函数，且方程g（x）-m=0有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件化简函数的解析式，然后求解函数的解析式即可．求出f（5^-x）+f（5^x）的值，即可求解所求表达式的值．
（2）要使方程g（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来，利用基本不等式，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）函数p（x）=log₃x，q（x）=2^x．
若f（q（x））=p（q（5x）），
可得：f（q（x））=log₃q（5x）=log₃2^5x=5log₃2^x=5log₃q（x）．
f（x）的解析式：f（x）=5log₃x．
f（5^-x）+f（5^x）=5log₃5^-x+5log₃5^x=5log₃（5^-x•5^x）=0．
f（5^-2013）+f（5^-2012）+f（5^-2011）+…+f（5²⁰¹²）+f（5²⁰¹³）
=0；
（2）由函数p（x）=log₃x，q（x）=2^x．
g（x）=p（q（2x）+1）+kx=log₃（2^2x+1）+kx，
（k∈R）是偶函数，可得：log₃（2^-2x+1）-kx=log₃（2^2x+1）+kx，
解得k=-log₃2．
∴g（x）-m=0等价于m=log₃（2^2x+1）-log₃2^x=log₃（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）≥log₃2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=log₃2，当且仅当x=0时取等号．
∴要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥log₃2．

点评 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．