Question

已知各项均为正数的数列{ a_n }的前n项和S_n满足S_n＞1，且

（Ⅰ）求｛a_n｝的通项公式；

（Ⅱ）设数列｛b_n｝满足并记T_n为｛b_n ｝的前n项和，求证：

Answer 1

（Ⅰ）解：由，解得a₁＝1或a₁＝2，

由假设a₁＝S₁＞1，因此a₁＝2。

又由a_n+1＝S_n+1- S_n＝，

得a_n+1- a_n-3＝0或a_n+1＝-a_n

因a_n＞0，故a_n+1＝-a_n不成立，舍去。

因此a_n+1- a_n-3＝0。从而｛a_n｝是公差为3，首项为2的等差数列，

故｛a_n｝的通项为a_n＝3n-2。

（Ⅱ）证法一：由可解得

；

从而。

因此。

令,则

。

因，故

.

特别的。从而，

即。

证法二：同证法一求得b_n及T_n。

由二项式定理知当c＞0时，不等式

成立。

由此不等式有

＝。

证法三：同证法一求得b_n及T_n。

令A_n＝，B_n＝，C_n＝。

因，因此。

从而

＞。