Question

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且， ．

（1）证明：数列{a2k}（）为等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设 （λ为非零整数）．试确定λ的值，使得对任意都有成立．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）an＝；（3）λ＝－1

【解析】试题分析：（1）利用等比数列的定义证明；（2）利用（1）的结论，以及a2n－1与a2n＋1的关系，可以分奇偶数写出{an}的通项公式；（3）利用（1）（2）的结论，将a2k和a2k－1的表达式代入bk，再利用作差法确定λ的取值范围.过程中注意对k的奇偶情况进行讨论.

试题解析：（1）设n＝2k（k∈N*）

∵a2n＋2＝（1＋2|coskπ|）a2k＋|sinkπ|＝3a2k，

又a2＝3，

∴当k∈N*时，数列{a2k}为首项为3，公比为3的等比数列； 3'

（2）设n＝2k－1（k∈N*）

由a2k＋1＝（1＋2|cos（k－）π|）a2k－1＋|sin（k－）π|＝a2k－1＋1

∴当k∈N*时，{a2k－1}是等差数列

∴a2k－1＝a1＋（k－1）·1＝k 5'

又由（1）当k∈N*时，数列{a2k}为首项为3，公比为3的等比数列

∴a2k＝a2·3k－1＝3k 6'

综上，数列{an}的通项公式为an＝ 7'

（3）bk＝a2k＋（－1）k－1λ·2＝3k＋（－1）k－1λ·2k，

∴bk＋1－bk＝3k＋1＋（－1）kλ·2k＋1－3k－（－1）k－1λ·2k

＝2·3k＋（－1）kλ·3·2k

由题意，对任意k∈N*都有bk＋1＞bk成立

∴bk＋1－bk＝2·3k＋（－1）kλ·3·2k＞0恒成立

? 2·3k＞（－1）k－1λ·3·2k对任意k∈N*恒成立 9'

①当k为奇数时，2·3k＞λ·3·2k ? λ＜对任意k∈N*恒成立

∵k∈N*，且k为奇数，∴＝1

∴λ＜1 10'

②当k为偶数时，2·3k＞－λ·3·2k ? λ＞－对任意k∈N*恒成立

∵k∈N*，且k为偶数，∴，∴λ＞－ 11'

综上：有－＜λ＜1 12'

∵λ为非零整数，∴λ＝－1.

 

考点：等差数列，等比数列，通项公式，不等式恒成立，分类讨论